Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} - 1$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x^{3} + 3 \cdot 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine os termos opostos em $3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Subtraia $3 x^{3} x^{2}$ de $3 x^{3} x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 0 - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Some $3 \cdot 1 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Some $3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Etapa 3.6.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$