Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{e^{3 x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Etapa 4.4

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.1.2

Reordene os fatores em $3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.3

Fatore $3 e^{3 x} x^{2}$ de $3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $3 e^{3 x} x^{2}$ de $3 e^{3 x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.3.2

Fatore $3 e^{3 x} x^{2}$ de $- 3 e^{3 x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)}{e^{6 x}}$

Etapa 5.3.3

Fatore $3 e^{3 x} x^{2}$ de $3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)}{e^{6 x}}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ e $e^{6 x}$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $e^{6 x}$ de $3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)$ .

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x}}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)}{1}$

Etapa 5.4.2.4

Divida $3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$ por $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$

Etapa 5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3 e^{- 3 x} x^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Etapa 5.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Etapa 5.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.7.1

Mova $x$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x \cdot x^{2}) \cdot - 1$

Etapa 5.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x^{1} x^{2}) \cdot - 1$

Etapa 5.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{1 + 2} \cdot - 1$

Etapa 5.7.3

Some $1$ e $2$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{3} \cdot - 1$

Etapa 5.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$

Etapa 5.9

Reordene os fatores em $3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$ .

$3 x^{2} e^{- 3 x} - 3 x^{3} e^{- 3 x}$