Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\ln (x)}$ como ${\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8.3

Mova ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 9

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 11

Multiplique $\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ por $\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 12

Combine.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 14.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} ({\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 17

Simplifique a expressão.

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Etapa 17.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 17.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 18

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 18.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 18.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 2 \ln^{1} (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 19

Simplifique.

$\frac{1 - 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x) \cdot 1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 21

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 22.2

Reordene os termos.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 x^{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$