Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 2 \ln (x))}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 2 \ln (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2 \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2 \ln (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2 \ln (x)$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2 \ln (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)])$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 - 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 - 2 \frac{1}{x})$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{- 2}{x})$

Etapa 4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 - \frac{2}{x})$