Cálculo Exemplos

$f (x) = {(4 x + 3)}^{2} \ln (4 x + 3)$

Etapa 1

Reescreva ${(4 x + 3)}^{2}$ como $(4 x + 3) (4 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x + 3) (4 x + 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 2

Expanda $(4 x + 3) (4 x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x + 3) + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3.1.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 3.2

Some $12 x$ e $12 x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 24 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 9$ e $g (x) = \ln (4 x + 3)$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 3)] + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + 3$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 5.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 3$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{4 x + 3} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + 0) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6.6

Combine frações.

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Etapa 6.6.1

Some $4$ e $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} \cdot 4 + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6.6.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4 x + 3}$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Etapa 6.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{2} + 24 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.8

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.10

Multiplique $2$ por $16$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.11

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.13

Multiplique $24$ por $1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 6.14

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + 0)$

Etapa 6.15

Some $32 x + 24$ e $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reordene os termos.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $16 x^{2} + 24 x + 9$ por $\frac{4}{4 x + 3}$ .

$\frac{(16 x^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.2.2.1

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Etapa 7.2.2.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de ${(4 x + 3)}^{2}$ e $4 x + 3$ .

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Etapa 7.2.3.1

Fatore $4 x + 3$ de ${(4 x + 3)}^{2} \cdot 4$ .

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4}{1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.3.2.4

Divida $(4 x + 3) \cdot 4$ por $1$ .

$(4 x + 3) \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.6

Multiplique $3$ por $4$ .

$16 x + 12 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Etapa 7.2.7

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x + 12 + 32 x \ln (4 x + 3) + 24 \ln (4 x + 3)$