Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$ .

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Etapa 1.1

Fatore $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 3

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

Etapa 3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

Etapa 3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

Etapa 3.4

Some $3$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Etapa 4

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{3} - 7 x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Etapa 4.2

Fatore $x^{2}$ de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Etapa 4.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x - 7)}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Etapa 5

Mova $x^{\frac{4}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (6 x - 7) x^{- \frac{4}{3}}]$

Etapa 6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}} x^{2} (6 x - 7)]$

Etapa 6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2} (6 x - 7)]$

Etapa 6.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} (6 x - 7)]$

Etapa 6.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Etapa 6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Etapa 6.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 6}{3}} (6 x - 7)]$

Etapa 6.6.2

Some $- 4$ e $6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (6 x - 7)]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 6 x - 7$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x - 7] + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + 0) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.6.1

Some $6$ e $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8.6.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 8.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 10

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 12.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 14

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 15

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 6 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2

Combine os termos.

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Etapa 16.2.1

Combine $6$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.3

Combine $x$ e $\frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.4

Mova $12$ para a esquerda de $x$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.5

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.6

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.2.6.1

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.6.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Etapa 16.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.6.5

Some $- 1$ e $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.7

Fatore $3$ de $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.2.8.1

Fatore $3$ de $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.8.2

Cancele o fator comum.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.8.3

Reescreva a expressão.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.8.4

Divida $4 x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.9

Combine $- 7$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.10

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16.2.12

Some $6 x^{\frac{2}{3}}$ e $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$10 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$