Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sec (\frac{1}{x})}$

Etapa 1

Reescreva $\sec (\frac{1}{x})$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [1 \cos (\frac{1}{x})]$

Etapa 3

Multiplique $\cos (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Etapa 5.3

Multiplique.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\sin (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Combine $\sin (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x^{2}}$