Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt{x}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 3.13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 3.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 3.14.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.14.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 3.14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 3.15

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 3.16

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.17

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$