Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ como ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.7

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.14

Combine $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $t^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.15

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.15.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.15.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.15.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.15.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.15.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.15.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.15.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.16

Mova $t^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.18

Multiplique $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 3.19

Multiplique $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 0$

Etapa 3.20

Some $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$