Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sin (x)}{2 - \cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 - \cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 9.2.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.4

Fatore $- 1$ de $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.5

Reorganize os termos.

$\frac{2 \cos (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \cos (x) - 1 \cdot 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$\frac{- 1 + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.5

Fatore $- 1$ de $2 \cos (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - (- 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- 2 \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 - 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$