Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\tan (x - 5)}{x - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \tan (x - 5)$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\tan (x - 5)] - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + 0) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) \cdot 1 - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique os termos.

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Etapa 3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - 1 \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.3.2

Reescreva $- 1 \sec^{2} (x - 5)$ como $- \sec^{2} (x - 5)$ .

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$