Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 3 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x - 3$ e $0$ .

$4 x - 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x - 3 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x - 3 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x - 3$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x - 3$ .

$4 x - 3$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - 3 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x = 3$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4$

Etapa 9

$x = \frac{3}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3}{4}$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = \frac{3}{4}$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3}{4}) = 2 {(\frac{3}{4})}^{2} - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Etapa 10.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Etapa 10.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.4.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Etapa 10.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Etapa 10.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Etapa 10.2.1.5

Multiplique $- 3 (\frac{3}{4})$ .

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Etapa 10.2.1.5.1

Combine $- 3$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 1$

Etapa 10.2.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 1$

Etapa 10.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 1$

Etapa 10.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 10.2.2.1

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1$

Etapa 10.2.2.3

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 10.2.2.4

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 10.2.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 10.2.2.6

Reordene os fatores de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 10.2.2.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 10.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 10.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 1 \cdot 8}{8}$

Etapa 10.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 8}{8}$

Etapa 10.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.5.1

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 8}{8}$

Etapa 10.2.5.2

Subtraia $8$ de $- 9$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 17}{8}$

Etapa 10.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3}{4}) = - \frac{17}{8}$

Etapa 10.2.6

A resposta final é $- \frac{17}{8}$ .

$y = - \frac{17}{8}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 1$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{17}{8})$ é um mínimo local

Etapa 12