Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Etapa 1.2

Como $\frac{72}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{72}{5}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\frac{48}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ como ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Etapa 2.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 2.9

Multiplique os expoentes em ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 2.9.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

Etapa 2.11

Some $3$ e $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

Etapa 2.12

Multiplique $3$ por $2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

Etapa 2.13

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

Etapa 2.14

Eleve $3 x + 1$ à potência de $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

Etapa 2.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

Etapa 2.16

Subtraia $4$ de $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

Etapa 2.17

Combine $- 6$ e $\frac{48}{5}$ .

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.18

Multiplique $- 6$ por $48$ .

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.19

Combine $\frac{- 288}{5}$ e ${(3 x + 1)}^{- 3}$ .

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

Etapa 2.20

Mova ${(3 x + 1)}^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Subtraia $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ de $0$ .

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$