Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 2.3

Multiplique ${(7 x - 6)}^{6}$ por $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 7 x - 6$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 4.2

Fatore ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 4.2.2

Fatore ${(7 x - 6)}^{5}$ de $- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 4.2.3

Fatore ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{12}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 7

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 9

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 10

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 11

Simplifique somando os termos.

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Etapa 11.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 11.2

Multiplique $7$ por $- 6$ .

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 11.3

Subtraia $42 x$ de $7 x$ .

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Fatore $- 1$ de $- 35 x$ .

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 12.2

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 12.3

Fatore $- 1$ de $- (35 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 12.4

Reescreva $- (35 x + 6)$ como $- 1 (35 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Etapa 12.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$