Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + \frac{c}{x}$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $x + \frac{c}{x}$ por $1$ .

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 4

Combine.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 14

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{c}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 17

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{c}{x}$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 18

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.3

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $c$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{c}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.4.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.1.6

Multiplique $c$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + c - x^{2} + c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.2.2

Some $c$ e $0$ .

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.3.3

Some $c$ e $c$ .

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.4.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.4.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

Etapa 20.4.4

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{2} + c}{x}$ .

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 20.5

Combine $x$ e $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 20.6

Reduza a expressão $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.6.1

Fatore $x$ de $x {(x^{2} + c)}^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

Etapa 20.6.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

Etapa 20.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

Etapa 20.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

Etapa 20.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Etapa 20.8

Multiplique $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.8.1

Combine $2$ e $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Etapa 20.8.2

Combine $c$ e $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

Etapa 20.9

Mova $2$ para a esquerda de $c$ .

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$