Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} (2 e^{x^{2}})$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} (2 e^{x^{2}})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.3

Some $1$ e $2$ .

$2 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x^{2}}$ .

$2 (x^{3} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Etapa 8.2

Combine os termos.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 e^{x^{2}} x$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$

Etapa 8.4

Reordene os fatores em $4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$ .

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 x e^{x^{2}}$