Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{7} {(5 + 8 x)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = {(5 + 8 x)}^{3}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(5 + 8 x)}^{3}] + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 5 + 8 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 + 8 x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 + 8 x$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [5 + 8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [8 x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (3 {(5 + 8 x)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x])) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.5

Multiplique $8$ por $3$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2} \cdot 1) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.7

Multiplique $24$ por $1$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + {(5 + 8 x)}^{3} (7 x^{6})$

Etapa 3.9

Mova $7$ para a esquerda de ${(5 + 8 x)}^{3}$ .

$x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 \cdot {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ de $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2}) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ de $x^{7} (24 {(5 + 8 x)}^{2})$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + 7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$

Etapa 4.1.2

Fatore $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ de $7 {(5 + 8 x)}^{3} x^{6}$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$

Etapa 4.1.3

Fatore $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2}$ de $x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24)) + x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (7 (5 + 8 x))$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (x \cdot (24) + 7 (5 + 8 x))$

Etapa 4.2

Mova $24$ para a esquerda de $x$ .

$x^{6} {(5 + 8 x)}^{2} (24 x + 7 (5 + 8 x))$