Cálculo Exemplos

$3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$

Etapa 1

Fatore $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 24, \pm 8, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 12, \pm 4, \pm 3, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{3}, \pm 6$

Etapa 1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$3 \cdot 2^{3} - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Etapa 1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$3 \cdot 8 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Etapa 1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$24 - 1 \cdot 4 - 22 \cdot 2 + 24$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$24 - 4 - 22 \cdot 2 + 24$

Etapa 1.3.6

Subtraia $4$ de $24$ .

$20 - 22 \cdot 2 + 24$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 22$ por $2$ .

$20 - 44 + 24$

Etapa 1.3.8

Subtraia $44$ de $20$ .

$- 24 + 24$

Etapa 1.3.9

Some $- 24$ e $24$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24}{x - 2}$

Etapa 1.5

Divida $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ por $x - 2$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$22 x$

$24$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			+	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{2} - 10 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x + 24$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 x^{2} + 5 x - 12$

Etapa 1.6

Escreva $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 x - 12)$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 (x) - 12)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $5$ como $- 4$ mais $9$

$(x - 2) (3 x^{2} + (- 4 + 9) x - 12)$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 9 x - 12)$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 2) ((3 x^{2} - 4 x) + 9 x - 12)$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 2) (x (3 x - 4) + 3 (3 x - 4))$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 4$ .

$(x - 2) ((3 x - 4) (x + 3))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (3 x - 4) (x + 3)$