Cálculo Exemplos

$2 - 15 x + 9 x^{2} - x^{3}$

Etapa 1

Reordene os termos.

$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$

Etapa 2

Fatore $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 + 9 \cdot 2^{2} - 15 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 9 \cdot 4 - 15 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.3.5

Multiplique $9$ por $4$ .

$- 8 + 36 - 15 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.3.6

Some $- 8$ e $36$ .

$28 - 15 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 15$ por $2$ .

$28 - 30 + 2$

Etapa 2.3.8

Subtraia $30$ de $28$ .

$- 2 + 2$

Etapa 2.3.9

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2}{x - 2}$

Etapa 2.5

Divida $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ por $x - 2$ .

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Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$15 x$

$2$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{2} - 14 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 2$ .

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$2$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$15 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + 7 x - 1$

Etapa 2.6

Escreva $- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 2$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (- x^{2} + 7 x - 1)$

Etapa 3

Fatore.

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Etapa 3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 7 x - 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) + 7 x - 1)$

Etapa 3.1.2

Fatore $- 1$ de $7 x$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) - (- 7 x) - 1)$

Etapa 3.1.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$(x - 2) (- (x^{2}) - (- 7 x) - 1 (1))$

Etapa 3.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 7 x)$ .

$(x - 2) (- (x^{2} - 7 x) - 1 (1))$

Etapa 3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 7 x) - 1 (1)$ .

$(x - 2) (- (x^{2} - 7 x + 1))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) \cdot - 1 (x^{2} - 7 x + 1)$

Etapa 4

Fatore o negativo.

$- ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 1))$

Etapa 5

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 2) (x^{2} - 7 x + 1)$