Cálculo Exemplos

$y^{3} - 10 y + 3$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} - 10 \cdot 3 + 3$

Etapa 3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 10 \cdot 3 + 3$

Etapa 3.3

Multiplique $- 10$ por $3$ .

$27 - 30 + 3$

Etapa 3.4

Subtraia $30$ de $27$ .

$- 3 + 3$

Etapa 3.5

Some $- 3$ e $3$ .

$0$

Etapa 4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $y - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{y^{3} - 10 y + 3}{y - 3}$

Etapa 5

Divida $y^{3} - 10 y + 3$ por $y - 3$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$10 y$

$3$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{3} - 3 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 y^{2} - 9 y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$
							-	$y$	+	$3$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- y + 3$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$
							+	$y$	-	$3$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$1$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$10 y$	+	$3$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$10 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$y$	+	$3$
							+	$y$	-	$3$
										$0$

Etapa 5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$y^{2} + 3 y - 1$

Etapa 6

Escreva $y^{3} - 10 y + 3$ como um conjunto de fatores.

$(y - 3) (y^{2} + 3 y - 1)$