Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{108}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $x + \frac{108}{x^{2}}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Combine.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{108}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x \cdot x^{2} + 108}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + 108}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} + 108}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Etapa 5.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Etapa 5.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Etapa 5.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 + 0$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Etapa 5.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$

Etapa 5.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	+	$108$

Etapa 5.8

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + \frac{108}{x^{2}}$

Etapa 5.9

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x$

Etapa 7