Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{2} e^{- x^{2}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $8 x^{2} e^{- x^{2}}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} 8 x^{2} e^{- x^{2}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$8 lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x^{2}}$

Etapa 3.2

Reescreva $x^{2} e^{- x^{2}}$ como $\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$

Etapa 3.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$8 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Etapa 3.3.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Etapa 3.3.1.3

Como o expoente $x^{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x^{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$8 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$8 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 3.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Etapa 3.3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

Etapa 3.3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.3.5.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 e^{x^{2}} x}$

Etapa 3.3.3.5.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x e^{x^{2}}}$

Etapa 3.3.4

Reduza.

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Etapa 3.3.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x e^{x^{2}}}$

Etapa 3.3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x e^{x^{2}}}$

Etapa 3.3.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x e^{x^{2}}}$

Etapa 3.3.4.2.2

Reescreva a expressão.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}}}$

Etapa 3.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{x^{2}}}$ se aproxima de $0$ .

$8 \cdot 0$

Etapa 3.5

Multiplique $8$ por $0$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7