Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $5$ de $25 x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $5$ de $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

Etapa 3.1.2

Fatore $5$ de $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

Etapa 3.1.3

Fatore $5$ de $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

Etapa 3.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 3.3.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 3.5.1.2

Divida $5$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

Etapa 3.5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 3.5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 3.5.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 3.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 3.7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

Etapa 3.7.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Divida $5 + 0$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

Etapa 3.7.2.2.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{1}{\sqrt{25}}$

Etapa 3.7.2.2.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 3.7.2.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{5}$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $5$ de $25 x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $5$ de $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

Etapa 4.1.2

Fatore $5$ de $5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

Etapa 4.1.3

Fatore $5$ de $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

Etapa 4.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 4.3.6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 4.5.1.2

Divida $5$ por $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

Etapa 4.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

Etapa 4.5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 4.5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 4.5.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 4.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 4.7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

Etapa 4.7.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1

Divida $5 + 0$ por $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

Etapa 4.7.2.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

Etapa 4.7.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

Etapa 4.7.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.3.1

Some $5$ e $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

Etapa 4.7.2.3.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{1}{\sqrt{25}}$

Etapa 4.7.2.3.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 4.7.2.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{5}$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Etapa 6

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 8