Cálculo Exemplos

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$

Etapa 1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$ .

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Etapa 1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 80$

Etapa 1.2

Fatore $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 80$

Etapa 1.3

Fatore $4$ de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 80$

Etapa 1.4

Fatore $4$ de $- 80$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

Etapa 1.5

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

Etapa 1.6

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$

Etapa 1.7

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20)$

Etapa 2

Fatore $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Etapa 2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

Etapa 2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

Etapa 2.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 9 \cdot 4 + 24 \cdot 2 - 20$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$8 - 36 + 24 \cdot 2 - 20$

Etapa 2.3.5

Subtraia $36$ de $8$ .

$- 28 + 24 \cdot 2 - 20$

Etapa 2.3.6

Multiplique $24$ por $2$ .

$- 28 + 48 - 20$

Etapa 2.3.7

Some $- 28$ e $48$ .

$20 - 20$

Etapa 2.3.8

Subtraia $20$ de $20$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20}{x - 2}$

Etapa 2.5

Divida $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ por $x - 2$ .

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Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$20$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 7 x^{2} + 14 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	-	$20$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 7 x + 10$

Etapa 2.6

Escreva $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 10))$

Etapa 3

Fatore.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{2} - 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} - 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 5, - 2$

Etapa 3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((x - 2) ((x - 5) (x - 2)))$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 ((x - 2) (x - 5) (x - 2))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 2) (x - 5) (x - 2)$

Etapa 4

Combine expoentes.

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Etapa 4.1

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$4 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x - 5)$

Etapa 4.2

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$4 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x - 5)$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5)$

Etapa 4.4

Some $1$ e $1$ .

$4 {(x - 2)}^{2} (x - 5)$