Cálculo Exemplos

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 2 x + 3$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 2 x + 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{- 0.5}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Mova ${u_{1}}^{- 0.5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ , então, ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 {u_{1}}^{0.5}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 0.5$ .

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

Etapa 4.1.4

Multiplique.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $0.5$ por $2$ .

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique ${u_{1}}^{- 0.5}$ por $1$ .

${u_{1}}^{- 0.5}$

Etapa 4.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ como um produto.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 5.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Etapa 11

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

Etapa 13

Aplique a regra da constante.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ .

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Etapa 16.1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.1.3.2

Multiplique $0.5$ por $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.2

Cancele o fator comum de $8$ e $12$ .

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Etapa 16.1.2.1

Fatore $4$ de $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.1.2.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.2

Para escrever $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Etapa 16.3

Combine $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

Etapa 16.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Etapa 16.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 16.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Etapa 16.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

Etapa 16.6

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.8.2

Fatore $2$ de $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.9

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.10.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.10.2

Fatore $2$ de $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.10.3

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Etapa 16.10.4

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Etapa 16.11

Combine $- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Etapa 16.12

Combine $\frac{- 9}{2}$ e ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Etapa 16.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Etapa 16.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.14.1

Fatore ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

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Etapa 16.14.1.1

Fatore ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Etapa 16.14.1.2

Fatore ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

Etapa 16.14.1.3

Fatore ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

Etapa 16.14.2

Subtraia $9$ de $3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

Etapa 16.14.3

Fatore $2$ de $2 x - 6$ .

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Etapa 16.14.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

Etapa 16.14.3.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

Etapa 16.14.3.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Etapa 16.15

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Etapa 16.15.2

Divida ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ por $1$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

Etapa 16.16

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

Etapa 16.17

Mova $- 3$ para a esquerda de ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Etapa 16.18

Reordene os fatores em ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$