Cálculo Exemplos

$12 x^{2} - 7 x - 12 < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 7$ como $9$ mais $- 16$

$12 x^{2} + (9 - 16) x - 12 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x^{2} + 9 x - 16 x - 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(12 x^{2} + 9 x) - 16 x - 12 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 x (4 x + 3) - 4 (4 x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Etapa 4

Defina $4 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $4 x + 3$ como igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4 x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 3$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $4 x = - 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{4}$

Etapa 5

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $3 x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{3}{4}, \frac{4}{3}$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{3}{4}$

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{3}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{3}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$12 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 12 < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $117$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$12 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 12 < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 12$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$12 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 - 12 < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $152$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{3}{4}$ Falso

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{4}{3}$ Falso

$x < - \frac{3}{4}$ Falso

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{4}{3}$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{3}{4}, \frac{4}{3})$

Etapa 11