Cálculo Exemplos

$\frac{x}{y} - x^{2} = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1.1

Para escrever $- 2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.2

Combine $- 2 x$ e $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y - x y' - 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}}$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$- x y' - 2 y^{2} x + y = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.2.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1.1

Some $2 y^{2} x$ aos dois lados da equação.

$- x y' + y = 2 y^{2} x$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- x y' = 2 y^{2} x - y$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $- x y' = 2 y^{2} x - y$ por $- x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $- x y' = 2 y^{2} x - y$ por $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 y^{2}}{- 1} + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.3.1.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 y^{2}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 y^{2})$ como $- (2 y^{2})$ .

$y' = - (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y' = - 2 y^{2} + \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.3.1.4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$