Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{5 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(5 x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.2

Como $5^{\frac{1}{3}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $5^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$5^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$5^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.10

Combine $5^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{5^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$