Cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x y) = x + y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos^{2} (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x y)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (x y)$ .

$2 \cos (x y) \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x y$ .

$2 \cos (x y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x y$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (x y) (\sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.7

Multiplique $y$ por $1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y)$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y') - 2 \cos (x y) \sin (x y) y$

Etapa 2.8.2

Reordene os termos.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Etapa 5.2

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Some $2 y \cos (x y) \sin (x y)$ aos dois lados da equação.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Etapa 5.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1

Adicione parênteses.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y (\cos (x y) \sin (x y))$

Etapa 5.3.2.2

Reordene $2 y$ e $\cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) \sin (x y) (2 y)$

Etapa 5.3.2.3

Adicione parênteses.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) (\sin (x y) \cdot 2) y$

Etapa 5.3.2.4

Reordene $\cos (x y)$ e $\sin (x y) \cdot 2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (x y) \cdot 2 \cos (x y) y$

Etapa 5.3.2.5

Reordene $\sin (x y)$ e $2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 \cdot \sin (x y) \cos (x y) y$

Etapa 5.3.2.6

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (2 x y) y$

Etapa 5.3.3

Reordene os fatores em $1 + \sin (2 x y) y$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + y \sin (2 x y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ por $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ por $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1}$

Etapa 5.5.3.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Etapa 5.5.3.5

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.5.3.5.1

Reescreva $- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ como $- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Etapa 5.5.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$