Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique $y$ por $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.8

Subtraia $y'$ de $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{- y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x^{- 2} - - \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{- 2} + 1 \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.11

Multiplique $\frac{y'}{y^{2}}$ por $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.12

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + 0$

Etapa 2.3.13

Some $\frac{y'}{y^{2}}$ e $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $\frac{1}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$