Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.2.8

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y^{2}$ por $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Subtraia $2 y y'$ de $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.9

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Etapa 2.3.10

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{4}$ .

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Etapa 2.3.10.1

Fatore $y$ de $- 2 y y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Etapa 2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.10.2.1

Fatore $y$ de $y^{4}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Etapa 2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Etapa 2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Etapa 2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $\frac{2}{x^{3}}$ aos dois lados da equação.

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $\frac{2 y'}{y^{3}}$ por $1$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ como $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por $y^{3}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 5.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Etapa 5.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.1

Simplifique $- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ por $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ para o numerador.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.3.2.2

Fatore $2$ de $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.3.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.3.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

Etapa 5.5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$