Cálculo Exemplos

${(4 x y + 7)}^{2} = 8 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(4 x y + 7)}^{2}) = \frac{d}{d x} (8 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(4 x y + 7)}^{2}$ como $(4 x y + 7) (4 x y + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x y + 7) (4 x y + 7)]$

Etapa 2.2

Expanda $(4 x y + 7) (4 x y + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x y (4 x y + 7) + 7 (4 x y + 7)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x y (4 x y) + 4 x y \cdot 7 + 7 (4 x y + 7)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [4 x y (4 x y) + 4 x y \cdot 7 + 7 (4 x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x \cdot x) y (4 y) + 4 x y \cdot 7 + 7 (4 x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} y (4 y) + 4 x y \cdot 7 + 7 (4 x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} (y \cdot y) \cdot 4 + 4 x y \cdot 7 + 7 (4 x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} y^{2} \cdot 4 + 4 x y \cdot 7 + 7 (4 x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} y^{2} + 4 x y \cdot 7 + 7 (4 x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} y^{2} + 28 x y + 7 (4 x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} y^{2} + 28 x y + 28 (x y) + 7 \cdot 7]$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} y^{2} + 28 x y + 28 x y + 49]$

Etapa 2.3.2

Some $28 x y$ e $28 x y$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} y^{2} + 56 x y + 49]$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{2} y^{2} + 56 x y + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.4.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$16 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$16 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$16 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.7

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$16 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$16 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.9

Diferencie.

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Etapa 2.9.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.9.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [56 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.9.3

Como $56$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $56 x y$ em relação a $x$ é $56 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.11

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.13

Multiplique $y$ por $1$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [49]$

Etapa 2.14

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 (x y' + y) + 0$

Etapa 2.15

Some $16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 (x y' + y)$ e $0$ .

$16 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 56 (x y' + y)$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (2 x^{2} y y') + 16 (2 y^{2} x) + 56 (x y' + y)$

Etapa 2.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (2 x^{2} y y') + 16 (2 y^{2} x) + 56 (x y') + 56 y$

Etapa 2.16.3

Combine os termos.

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Etapa 2.16.3.1

Multiplique $2$ por $16$ .

$32 (x^{2} y y') + 16 (2 y^{2} x) + 56 (x y') + 56 y$

Etapa 2.16.3.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$32 x^{2} y y' + 32 y^{2} x + 56 x y' + 56 y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 y$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$32 x^{2} y y' + 32 y^{2} x + 56 x y' + 56 y = 8 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $8 y'$ dos dois lados da equação.

$32 x^{2} y y' + 32 y^{2} x + 56 x y' + 56 y - 8 y' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $32 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$32 x^{2} y y' + 56 x y' + 56 y - 8 y' = - 32 y^{2} x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $56 y$ dos dois lados da equação.

$32 x^{2} y y' + 56 x y' - 8 y' = - 32 y^{2} x - 56 y$

Etapa 5.3

Fatore $8 y'$ de $32 x^{2} y y' + 56 x y' - 8 y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $8 y'$ de $32 x^{2} y y'$ .

$8 y' (4 x^{2} y) + 56 x y' - 8 y' = - 32 y^{2} x - 56 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $8 y'$ de $56 x y'$ .

$8 y' (4 x^{2} y) + 8 y' (7 x) - 8 y' = - 32 y^{2} x - 56 y$

Etapa 5.3.3

Fatore $8 y'$ de $- 8 y'$ .

$8 y' (4 x^{2} y) + 8 y' (7 x) + 8 y' \cdot - 1 = - 32 y^{2} x - 56 y$

Etapa 5.3.4

Fatore $8 y'$ de $8 y' (4 x^{2} y) + 8 y' (7 x)$ .

$8 y' (4 x^{2} y + 7 x) + 8 y' \cdot - 1 = - 32 y^{2} x - 56 y$

Etapa 5.3.5

Fatore $8 y'$ de $8 y' (4 x^{2} y + 7 x) + 8 y' \cdot - 1$ .

$8 y' (4 x^{2} y + 7 x - 1) = - 32 y^{2} x - 56 y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $8 y' (4 x^{2} y + 7 x - 1) = - 32 y^{2} x - 56 y$ por $8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $8 y' (4 x^{2} y + 7 x - 1) = - 32 y^{2} x - 56 y$ por $8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)$ .

$\frac{8 y' (4 x^{2} y + 7 x - 1)}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 32 y^{2} x}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y' (4 x^{2} y + 7 x - 1)}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 32 y^{2} x}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (4 x^{2} y + 7 x - 1)}{4 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 32 y^{2} x}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $4 x^{2} y + 7 x - 1$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (4 x^{2} y + 7 x - 1)}{4 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 32 y^{2} x}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 32 y^{2} x}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 32$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $8$ de $- 32 y^{2} x$ .

$y' = \frac{8 (- 4 y^{2} x)}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{8 (- 4 y^{2} x)}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{4 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 56 y}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 56$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.1

Fatore $8$ de $- 56 y$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{4 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{8 (- 7 y)}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{4 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{8 (- 7 y)}{8 (4 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{4 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 7 y}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{4 x^{2} y + 7 x - 1} - \frac{7 y}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 7 y}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.2

Fatore $y$ de $- 4 y^{2} x - 7 y$ .

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Etapa 5.4.3.2.2.1

Fatore $y$ de $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 4 y x) - 7 y}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.2.2

Fatore $y$ de $- 7 y$ .

$y' = \frac{y (- 4 y x) + y \cdot - 7}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.2.3

Fatore $y$ de $y (- 4 y x) + y \cdot - 7$ .

$y' = \frac{y (- 4 y x - 7)}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 4 y x$ .

$y' = \frac{y (- (4 y x) - 7)}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (4 y x) - 1 (7))}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (4 y x) - 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (4 y x + 7))}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.2.6.1

Reescreva $- (4 y x + 7)$ como $- 1 (4 y x + 7)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (4 y x + 7))}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 5.4.3.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (4 y x + 7)}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y x + 7)}{4 x^{2} y + 7 x - 1}$