Cálculo Exemplos

$x^{5} y^{2} - x^{4} y + 2 x y^{3} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{5} y^{2} - x^{4} y + 2 x y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} y^{2} - x^{4} y + 2 x y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$x^{5} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{5} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{5} (2 y y') + y^{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} y y' + y^{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.2.6

Mova $5$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4} y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.3.5

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.4.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.4.7

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y') - (4 y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y') - (4 y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3}$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - x^{4} y' - 4 (y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - x^{4} y' - 4 y x^{3} + 6 x y^{2} y' + 2 y^{3}$

Etapa 2.5.4

Reordene os termos.

$2 y^{3} + 2 x^{5} y y' + 5 x^{4} y^{2} - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y^{3} + 2 x^{5} y y' + 5 x^{4} y^{2} - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 y^{3}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{5} y y' + 5 x^{4} y^{2} - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $5 x^{4} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{5} y y' - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2}$

Etapa 5.1.3

Some $4 x^{3} y$ aos dois lados da equação.

$2 x^{5} y y' - x^{4} y' + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 5.2

Fatore $x y'$ de $2 x^{5} y y' - x^{4} y' + 6 y^{2} x y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x y'$ de $2 x^{5} y y'$ .

$x y' (2 x^{4} y) - x^{4} y' + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 5.2.2

Fatore $x y'$ de $- x^{4} y'$ .

$x y' (2 x^{4} y) + x y' (- x^{3}) + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 5.2.3

Fatore $x y'$ de $6 y^{2} x y'$ .

$x y' (2 x^{4} y) + x y' (- x^{3}) + x y' (6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 5.2.4

Fatore $x y'$ de $x y' (2 x^{4} y) + x y' (- x^{3})$ .

$x y' (2 x^{4} y - x^{3}) + x y' (6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 5.2.5

Fatore $x y'$ de $x y' (2 x^{4} y - x^{3}) + x y' (6 y^{2})$ .

$x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$ por $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$ por $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ .

$\frac{x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} = \frac{- 2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} = \frac{- 2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $x$ de $- 5 x^{4} y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{x (- 5 x^{3} y^{2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{x (- 5 x^{3} y^{2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.4.1

Fatore $x$ de $4 x^{3} y$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{x (4 x^{2} y)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{x (4 x^{2} y)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2} x}{(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2} x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 y^{3} - 5 x^{3} y^{2} x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.5.1

Fatore $y^{2}$ de $- 2 y^{3} - 5 x^{3} y^{2} x$ .

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Etapa 5.3.3.5.1.1

Fatore $y^{2}$ de $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y) - 5 x^{3} y^{2} x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5.1.2

Fatore $y^{2}$ de $- 5 x^{3} y^{2} x$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y) + y^{2} (- 5 x^{3} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (- 2 y) + y^{2} (- 5 x^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{3} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.5.2.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 (x \cdot x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 5.3.3.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 (x^{1} x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{1 + 3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5.2.3

Some $1$ e $3$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.6

Para escrever $\frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.7.1

Multiplique $\frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y x}{(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x}$

Etapa 5.3.3.7.2

Reordene os fatores de $(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4}) + 4 x^{2} y x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.9.1

Fatore $y$ de $y^{2} (- 2 y - 5 x^{4}) + 4 x^{2} y x$ .

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Etapa 5.3.3.9.1.1

Fatore $y$ de $y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})$ .

$y' = \frac{y (y (- 2 y - 5 x^{4})) + 4 x^{2} y x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.1.2

Fatore $y$ de $4 x^{2} y x$ .

$y' = \frac{y (y (- 2 y - 5 x^{4})) + y (4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.1.3

Fatore $y$ de $y (y (- 2 y - 5 x^{4})) + y (4 x^{2} x)$ .

$y' = \frac{y (y (- 2 y - 5 x^{4}) + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{y (y (- 2 y) + y (- 5 x^{4}) + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{y (- 2 y \cdot y + y (- 5 x^{4}) + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{y (- 2 y \cdot y - 5 y x^{4} + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.9.5.1

Mova $y$ .

$y' = \frac{y (- 2 (y \cdot y) - 5 y x^{4} + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.9.6.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.9.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 x^{1 + 2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9.6.3

Some $1$ e $2$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.3.3.10.1

Fatore $- 1$ de $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2}) - 5 y x^{4} + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10.2

Fatore $- 1$ de $- 5 y x^{4}$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2}) - (5 y x^{4}) + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10.3

Fatore $- 1$ de $- (2 y^{2}) - (5 y x^{4})$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} + 5 y x^{4}) + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10.4

Fatore $- 1$ de $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} + 5 y x^{4}) - (- 4 x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10.5

Fatore $- 1$ de $- (2 y^{2} + 5 y x^{4}) - (- 4 x^{3})$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.10.6.1

Reescreva $- (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})$ como $- 1 (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$