Cálculo Exemplos

$x^{5 y} = y^{6 x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = 5 y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Etapa 2.2.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Etapa 2.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores em $5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = y$ e $g = 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Etapa 3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

Etapa 3.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Reordene os termos.

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Etapa 3.6.2

Reordene os fatores em $6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Simplifique $5 \ln (x)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Etapa 5.4.1.2

Simplifique $- 6 \ln (y)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Etapa 5.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ .

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Etapa 5.6

Subtraia $6 x y' y^{6 x - 1}$ dos dois lados da equação.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

Etapa 5.7

Some $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ aos dois lados da equação.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Etapa 5.8

Fatore $y'$ de $y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

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Etapa 5.8.1

Fatore $y'$ de $y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Etapa 5.8.2

Fatore $y'$ de $- 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Etapa 5.8.3

Fatore $y'$ de $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Etapa 5.9

Divida cada termo em $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ por $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ e simplifique.

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Etapa 5.9.1

Divida cada termo em $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ por $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 5.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

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Etapa 5.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.9.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 5.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.9.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 5.9.3.2

Fatore $- 1$ de $- 5 y x^{5 y - 1}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 5.9.3.3

Fatore $- 1$ de $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 5.9.3.4

Fatore $- 1$ de $- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 5.9.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.9.3.5.1

Reescreva $- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ como $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 5.9.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$