Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Etapa 1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

Etapa 2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

Etapa 2.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Etapa 2.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1.1

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

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Etapa 2.4.1.1.1

Combine.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Etapa 2.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Etapa 2.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Etapa 2.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Etapa 2.4.1.1.3.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 4$

Etapa 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.6

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 2.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $2, - 2$ .

$2, - 2$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

Etapa 5.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Subtraia $12$ de $27$ .

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Etapa 5.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $\frac{15}{4}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

Etapa 6.2.1.3

Divida $0$ por $4$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Etapa 6.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, 2)$ .

Decréscimo em $(- 2, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Etapa 7.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

Etapa 7.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

Etapa 7.2.5.2

Subtraia $12$ de $27$ .

$f' (3) = \frac{15}{4}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Etapa 7.3

Em $x = 3$ , a derivada é $\frac{15}{4}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2, 2)$

Etapa 9