Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 1.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2.2

Some $- 32 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.6.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$32 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $32 x = 0$ por $32$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $32 x = 0$ por $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $32$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{32}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $32$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2.2

Resolva ${(x + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.2.3

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.3.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.3.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.2.3.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0^{2} - 16}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - 16}$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$\frac{0}{- 16}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $0$ por $- 16$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 4$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{(- 4)}^{2} - 16}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{16 - 16}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{0}$

Etapa 4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Avalie em $x = 4$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{{(4)}^{2} - 16}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{16 - 16}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{0}$

Etapa 4.3.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 5