Cálculo Exemplos

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Para escrever $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.1.2

Para escrever $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{2} y^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.3.1

Multiplique $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.2

Multiplique $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Etapa 2.4.1.3.3

Reordene os fatores de $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 2.4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x y' - y) y^{2} + (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 2 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} (x y') + y^{2} (- y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} x y' - y^{2} y + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.3.1

Mova $y$ .

$y^{2} x y' - (y \cdot y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.3.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{2} x y' - (y^{1} y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} x y' - y^{1 + 2} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.3.3

Some $1$ e $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y + x^{2} (- x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{2} (x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.6.1

Mova $x$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x \cdot x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x^{1} x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{1 + 2} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2.6.3

Some $1$ e $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.3.1

Mova $y^{2}$ .

$x y' y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Reordene $x$ e $y'$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3.3

Mova $x^{3}$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - y' x^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3.4

Mova $- y^{3}$ .

$y' x y^{2} + x^{2} y - y' x^{3} - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3.5

Mova $x^{2} y$ .

$y' x y^{2} - y' x^{3} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3.6

Reordene $y' x y^{2}$ e $- y' x^{3}$ .

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Remova os parênteses.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $2 y' x^{2} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = 0$

Etapa 5.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Subtraia $x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y$

Etapa 5.3.2.2

Some $y^{3}$ aos dois lados da equação.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y' x$ de $- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $y' x$ de $- y' x^{3}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y' x$ de $y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y' x$ de $- 2 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $y' x$ de $y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $y' x$ de $y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2})$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3.5

Divida cada termo em $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ por $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Divida cada termo em $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ por $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ .

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.2.2

Cancele o fator comum de $- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.2

Para escrever $- \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.3.1

Multiplique $\frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y x}{(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ .

$y' = - \frac{x y x}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x y x + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.5.1

Fatore $y$ de $- x y x + y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.5.1.1

Fatore $y$ de $- x y x$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.5.1.2

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.5.1.3

Fatore $y$ de $y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.5.2

Reescreva $x \cdot x$ como $x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x^{2} + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.5.3

Reordene $- x^{2}$ e $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y^{2} - x^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.6.2

Fatore $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) - 1 (- y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Etapa 5.3.5.3.6.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2}))}$

Etapa 5.3.5.3.6.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Etapa 5.3.5.3.6.6

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.6.6.1

Reescreva $- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ como $- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Etapa 5.3.5.3.6.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$