Cálculo Exemplos

$x e^{y} - y e^{x} = 5$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - y e^{x}) = \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{y} - y e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} y')$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x}) - (e^{x} y')$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x e^{y} y' + e^{y} - y e^{x} - e^{x} y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$

Etapa 3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} - y e^{x} - y' e^{x} + e^{y} = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $y e^{x}$ aos dois lados da equação.

$x y' e^{y} - y' e^{x} + e^{y} = y e^{x}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $e^{y}$ dos dois lados da equação.

$x y' e^{y} - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $x y' e^{y} - y' e^{x}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x})$ .

$y' (x e^{y} - 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.4

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ por $x e^{y} - e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ por $x e^{y} - e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x e^{y} - e^{x}$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$