Cálculo Exemplos

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x y - y^{2}$ e $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.5.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.10

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14

Simplifique.

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Etapa 2.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.14.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.14.2.1.1

Expanda $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.14.2.1.2.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.2.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.14.2.1.2.3.1

Mova $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.2.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.2.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.14.2.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.3

Some $y (x y')$ e $2 x y y'$ .

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Etapa 2.14.2.1.3.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.3.2

Some $x y y'$ e $2 x y y'$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.4

Multiplique $- - y^{2}$ .

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Etapa 2.14.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.5

Expanda $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.14.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.14.2.1.6.1

Multiplique $- x y \cdot - 1$ .

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Etapa 2.14.2.1.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.1.6.3

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.2

Combine os termos opostos em $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ .

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Etapa 2.14.2.2.1

Some $- x y$ e $x y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.2.2

Some $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.2.3

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.2.4

Some $- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ e $0$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.3

Some $- 2 y^{2} y'$ e $y^{2} y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.2.4

Subtraia $x y y'$ de $3 x y y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.14.3

Reordene os termos.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.14.4.1

Fatore $y'$ de $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ .

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Etapa 2.14.4.1.1

Fatore $y'$ de $- y^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.1.2

Fatore $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.1.3

Fatore $y'$ de $2 x y y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.1.4

Fatore $y'$ de $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.1.5

Fatore $y'$ de $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.14.4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 2.14.4.2.1.1

Reordene os termos.

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.1.2

Reordene $- y^{2}$ e $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.1.3

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.1.4

Reescreva $2$ como $1$ mais $1$

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.1.6

Multiplique $x y$ por $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.1.7

Multiplique $x y$ por $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.14.4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + y$ .

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3

Combine expoentes.

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Etapa 2.14.4.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3.2

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3.4

Reescreva $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3.5

Eleve $x - y$ à potência de $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3.6

Eleve $x - y$ à potência de $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.4.4

Fatore o negativo.

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5

Cancele o fator comum de ${(x - y)}^{2}$ e ${(- x + y)}^{2}$ .

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Etapa 2.14.5.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5.2

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5.4

Aplique a regra do produto a $- 1 (- x + y)$ .

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5.6

Multiplique ${(- x + y)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5.7

Cancele o fator comum.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.14.5.8

Divida $- y'$ por $1$ .

$- y'$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- y' = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $- y' = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- y' = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$y' = 0$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$