Cálculo Exemplos

$2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2} = 24$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(y^{2} + 3)}^{2}$ como $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + (y^{2} + 3) (y^{2} + 3)]$

Etapa 2.2

Expanda $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} (y^{2} + 3) + 3 (y^{2} + 3)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 (y^{2} + 3)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Etapa 2.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Etapa 2.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 \cdot y^{2} + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 y^{2} + 3 y^{2} + 9]$

Etapa 2.3.2

Some $3 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9]$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(x^{2} + 1)}^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + 1$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.6

Some $2 x$ e $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$2 (8 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.5.8

Multiplique $8$ por $2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.6

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Etapa 2.6.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.6.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.6.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.6.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.6.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7

Avalie $\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

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Etapa 2.7.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 y^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y y') + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.8

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + 0$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Some $16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$ e $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

Etapa 2.9.2

Reordene os termos.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

Etapa 3

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ dos dois lados da equação.

$4 y^{3} y' + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Etapa 5.2

Fatore $4 y y'$ de $4 y^{3} y' + 12 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 y y'$ de $12 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3 = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Etapa 5.2.3

Fatore $4 y y'$ de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3$ .

$4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ por $4 y (y^{2} + 3)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ por $4 y (y^{2} + 3)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2} + 3$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $4$ de $- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4 y (y^{2} + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

Etapa 5.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$