Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Etapa 1.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 1.4

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 1.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Etapa 1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Depois, $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.1.3.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.1.3.9

Combine $9$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 2.1.3.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.3.11

Fatore $3$ de $9$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.3.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.12.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.1.3.12.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.3.12.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.4

Some $0$ e $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$