Cálculo Exemplos

$y^{3} + 10 x y + 4 x^{3} - 12 x = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + 10 x y + 4 x^{3} - 12 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + 10 x y + 4 x^{3} - 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x y$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 y^{2} y' + 10 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y) + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y) + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y) + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y) + 12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$3 y^{2} y' + 10 (x y' + y) + 12 x^{2} - 12$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} y' + 10 (x y') + 10 y + 12 x^{2} - 12$

Etapa 2.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 y^{2} y' + 10 x y' + 10 y + 12 x^{2} - 12$

Etapa 2.6.3

Reordene os termos.

$12 x^{2} + 3 y^{2} y' + 10 x y' + 10 y - 12$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$12 x^{2} + 3 y^{2} y' + 10 x y' + 10 y - 12 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $12 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 10 x y' + 10 y - 12 = - 12 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $10 y$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 10 x y' - 12 = - 12 x^{2} - 10 y$

Etapa 5.1.3

Some $12$ aos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 10 x y' = - 12 x^{2} - 10 y + 12$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + 10 x y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 10 x y' = - 12 x^{2} - 10 y + 12$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $10 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (10 x) = - 12 x^{2} - 10 y + 12$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (10 x)$ .

$y' (3 y^{2} + 10 x) = - 12 x^{2} - 10 y + 12$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 10 x) = - 12 x^{2} - 10 y + 12$ por $3 y^{2} + 10 x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 10 x) = - 12 x^{2} - 10 y + 12$ por $3 y^{2} + 10 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 10 x)}{3 y^{2} + 10 x} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{- 10 y}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + 10 x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} + 10 x)}{3 y^{2} + 10 x} = \frac{- 12 x^{2}}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{- 10 y}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{- 10 y}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{- 10 y}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{12 x^{2}}{3 y^{2} + 10 x} - \frac{10 y}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 12 x^{2} - 10 y}{3 y^{2} + 10 x} + \frac{12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 12 x^{2} - 10 y + 12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $2$ de $- 12 x^{2} - 10 y + 12$ .

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Etapa 5.3.3.2.3.1

Fatore $2$ de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2}) - 10 y + 12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.3.2

Fatore $2$ de $- 10 y$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 5 y) + 12}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.3.3

Fatore $2$ de $12$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (6)}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.3.4

Fatore $2$ de $2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 5 y)$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2} - 5 y) + 2 (6)}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.3.5

Fatore $2$ de $2 (- 6 x^{2} - 5 y) + 2 (6)$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2} - 5 y + 6)}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2}) - 5 y + 6)}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- 5 y$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2}) - (5 y) + 6)}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- (6 x^{2}) - (5 y)$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2} + 5 y) + 6)}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.7

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2} + 5 y) - 1 (- 6))}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.8

Fatore $- 1$ de $- (6 x^{2} + 5 y) - 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2} + 5 y - 6))}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.2.9.1

Reescreva $- (6 x^{2} + 5 y - 6)$ como $- 1 (6 x^{2} + 5 y - 6)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (6 x^{2} + 5 y - 6))}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 5.3.3.2.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 (6 x^{2} + 5 y - 6)}{3 y^{2} + 10 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (6 x^{2} + 5 y - 6)}{3 y^{2} + 10 x}$