Cálculo Exemplos

$y = \frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(3 x - 4)}^{4}$ e $g (x) = {(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{({(2 x + 3)}^{7})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 3)}^{7})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{7 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{4 \cdot {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + 0) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.7.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \cdot 3 - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.4.7.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.7.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.7.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} (2 \cdot {(2 x + 3)}^{6})}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.6.7.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Fatore $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ de $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

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Etapa 3.7.1.1.1

Fatore $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ de $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.1.2

Fatore $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ de $- 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.1.3

Fatore $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ de $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3) - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.6

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.7

Multiplique $- 7$ por $- 4$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.8

Subtraia $21 x$ de $12 x$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 18 + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.1.9

Some $18$ e $28$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum de ${(2 x + 3)}^{6}$ e ${(2 x + 3)}^{14}$ .

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Etapa 3.7.2.1

Fatore ${(2 x + 3)}^{6}$ de $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Etapa 3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.2.2.1

Fatore ${(2 x + 3)}^{6}$ de ${(2 x + 3)}^{14}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.3

Fatore $- 1$ de $- 9 x$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.4

Reescreva $46$ como $- 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) - 1 (- 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.5

Fatore $- 1$ de $- (9 x) - 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.6

Reescreva $- (9 x - 46)$ como $- 1 (9 x - 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 1 (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 3.7.8

Reordene os fatores em $- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$ .

$- \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$