Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{x}}{1 + x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{1 + x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Combine os termos opostos em $e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Subtraia $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Some $x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{x e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Reordene os fatores em $\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$