Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}}$ como ${({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{7 \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{- 7}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 7}$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 7$ .

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 5$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 3.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 + 0)$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} \cdot 2$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$- 14 {(2 x + 5)}^{- 8}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $- 14$ e $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Etapa 3.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$