Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{7} - 2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{7} - 2})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ e $g (x) = x^{7} - 2$ .

$\frac{(x^{7} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{7} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.11.1

Some $7 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6})}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.11.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 (x^{2} - 3 x + 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) + (- 7 x^{2} - 7 (- 3 x) - 7 \cdot 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Expanda $(x^{7} - 2) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{7} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{7} x + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{7}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{7}$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 7} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2.3

Some $1$ e $7$ .

$\frac{2 x^{8} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{7}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 \cdot x^{7} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.3.1

Mova $x^{6}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 (x^{6} x^{2}) - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{6 + 2} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3.3

Some $6$ e $2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.4.1

Mova $x^{6}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x)) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4.2

Multiplique $x^{6}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x^{1})) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{6 + 1}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.4.3

Some $6$ e $1$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{7}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 7$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.6

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Subtraia $7 x^{8}$ de $2 x^{8}$ .

$\frac{- 5 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Some $- 3 x^{7}$ e $21 x^{7}$ .

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 4 x + 6 - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{8}$ .

$\frac{- (5 x^{8}) + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Fatore $- 1$ de $18 x^{7}$ .

$\frac{- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7})$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Fatore $- 1$ de $- 14 x^{6}$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6})$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.11

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.12

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.13

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.14

Reescreva $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ como $- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$