Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2}}{1 - x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 - x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $1 - x$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Multiplique.

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Etapa 3.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Fatore $x$ de $- x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.5.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.5.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$