Cálculo Exemplos

$y = {(x^{2} - 3 y)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 3 y)}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 3 y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 3 y$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Etapa 3.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva ${(x^{2} - 3 y)}^{2}$ como $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = 3 ((x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.2

Expanda $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = 3 (x^{2} (x^{2} - 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = 3 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$y' = 3 (x^{4} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y \cdot y) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.1.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.1.4.1

Mova $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 (y \cdot y)) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.2

Subtraia $3 y x^{2}$ de $- 3 x^{2} y$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Mova $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.3.2.2

Subtraia $3 x^{2} y$ de $- 3 x^{2} y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 6 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = (3 x^{4} + 3 (- 6 x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.5

Simplifique.

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Etapa 5.1.5.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.5.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Etapa 5.1.6

Expanda $(3 x^{4} - 18 x^{2} y + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y' = 3 x^{4} (2 x) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = 3 \cdot 2 x^{4} x + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.7.2.1

Mova $x$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x \cdot x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 5.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x^{1} x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = 3 \cdot 2 x^{1 + 4} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.2.3

Some $1$ e $4$ .

$y' = 3 \cdot 2 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$y' = 6 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = 6 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.5

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.7.6.1

Mova $x$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x \cdot x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.1.7.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x^{1} x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{1 + 2} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.6.3

Some $1$ e $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{3} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.7

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.8

Multiplique $- 3$ por $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 \cdot 2 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.10

Multiplique $27$ por $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Etapa 5.1.7.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 \cdot - 3 y^{2} y'$

Etapa 5.1.7.12

Multiplique $27$ por $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y'$

Etapa 5.2

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' = y'$

Etapa 5.3

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = 0$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.4.1

Subtraia $6 x^{5}$ dos dois lados da equação.

$- 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5}$

Etapa 5.4.2

Some $36 x^{3} y$ aos dois lados da equação.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y$

Etapa 5.4.3

Subtraia $54 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.5

Fatore $y'$ de $- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y'$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y'$ de $- 9 x^{4} y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.5.2

Fatore $y'$ de $54 x^{2} y y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.5.3

Fatore $y'$ de $- 81 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.5.4

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.5.5

Fatore $y'$ de $y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y)$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.5.6

Fatore $y'$ de $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2})$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.5.7

Fatore $y'$ de $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ por $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ por $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Simplifique os termos.

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Etapa 5.6.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.3.1.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.1.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.6.3.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.3.2.1

Fatore $6 x$ de $- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ .

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Etapa 5.6.3.2.1.1

Fatore $6 x$ de $- 6 x^{5}$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.1.2

Fatore $6 x$ de $36 x^{3} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.1.3

Fatore $6 x$ de $- 54 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.1.4

Fatore $6 x$ de $6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.1.5

Fatore $6 x$ de $6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.6.3.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ e cuja soma é $b = 6$ .

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Etapa 5.6.3.2.2.1.1

Reordene os termos.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} - 9 y^{2} + 6 x^{2} y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.1.2

Reordene $- 9 y^{2}$ e $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.1.3

Fatore $6$ de $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.1.4

Reescreva $6$ como $3$ mais $3$

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + (3 + 3) (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 (x^{2} y) + 3 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.1.6

Mova os parênteses.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.6.3.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y' = \frac{6 x ((- x^{4} + 3 x^{2} y) + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y' = \frac{6 x (x^{2} (- x^{2} + 3 y) - 3 y (- x^{2} + 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x^{2} + 3 y$ .

$y' = \frac{6 x ((- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

$y' = \frac{6 x (- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3

Combine expoentes.

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Etapa 5.6.3.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.2

Fatore $- 1$ de $3 y$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) - (- 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.4

Reescreva $- (x^{2} - 3 y)$ como $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{6 x (- 1 (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.5

Eleve $x^{2} - 3 y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.6

Eleve $x^{2} - 3 y$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} {(x^{2} - 3 y)}^{1})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{1 + 1}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.8

Some $1$ e $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.2.3.9

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.6.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 9 x^{4}$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.3.3

Fatore $- 1$ de $54 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Etapa 5.6.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 81 y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2}) - 1}$

Etapa 5.6.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2})$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1}$

Etapa 5.6.3.3.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)}$

Etapa 5.6.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Etapa 5.6.3.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.3.3.9.1

Reescreva $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ como $- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Etapa 5.6.3.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Etapa 5.6.3.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Etapa 5.6.3.3.9.4

Multiplique $\frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$