Cálculo Exemplos

$y = (2 - 5 x^{3}) \arcsin (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((2 - 5 x^{3}) \arcsin (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 - 5 x^{3}$ e $g (x) = \arcsin (x)$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{3}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\arcsin (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 5 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])$

Etapa 3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Etapa 3.3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (- 5 (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (- 15 x^{2})$

Etapa 3.3.6.2

Reordene os termos.

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 15 x^{2} \arcsin (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = (2 - 5 x^{3}) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) - 15 x^{2} \arcsin (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 - 5 x^{3}) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) - 15 x^{2} \arcsin (x)$