Cálculo Exemplos

$\ln (x y) + 8 x = 25$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 8 x) = \frac{d}{d x} (25)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x y) + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 8$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 8$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 8$

Etapa 2.4.2.2

Combine $\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Etapa 2.4.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Etapa 2.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 8$

Etapa 2.4.2.4

Combine $\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

Etapa 2.4.2.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 8$

Etapa 2.4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8$

Etapa 3

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 8 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y'}{y} + 8 = - \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 8$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = (- \frac{1}{x} - 8) y$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $(- \frac{1}{x} - 8) y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = - \frac{1}{x} y - 8 y$

Etapa 5.3.2.1.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 8 y$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 8 y$